| Titre : | Fonctions d'une variable complexe : Théorie de Cauchy élémentaire et applications |
| Auteurs : | Paul Jolissaint, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Paris [France] : Ellipses, DL 2016, cop. 2016 |
| Collection : | Références sciences, ISSN 2260-8044 |
| ISBN/ISSN/EAN : | 978-2-340-01481-7 |
| Format : | 1 vol. (VII-251 p.) / couv. ill. en coul. / 24 cm |
| Langues: | Français |
| Catégories : |
[Agneaux] Cauchy, Intégrales de [Agneaux] Fonctions d'une variable complexe |
| Sommaire : |
1 Nombres complexes et fonctions holomorphes 1
1.1 Les nombres complexes ........................ 1 1.2 Rappels topologiques ......................... 5 1.2.1 Disques et ouverts connexes ................. 5 1.2.2 Convergences uniforme, absolue, normale .......... 6 1.3 Propriétés élémentaires des fonctions holomorphes ......... 8 1.4 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Les séries de puissances 15 2.1 Rayon et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Le produit de Cauchy de deux séries* . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 La fonction exponentielle* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Intégrales curvilignes dans C 27 3.1 Chemins, lacets et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Primitives de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 La théorie de Cauchy 41 4.1 L’indice d’un point par rapport à un lacet . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Le théorème de Cauchy local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Le théorème de Cauchy global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5 Zéros et singularités isolées 59 5.1 Les zéros des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Les séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Classification des points singuliers isolés . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 v vi TABLE DES MATIÈRES 6 Le théorème des résidus 77 6.1 Le résidu en un pôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2 Calculs pratiques des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.3 Applications au calcul d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.4 Une application aux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.5 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7 Les logarithmes complexes 91 7.1 Logarithmes et déterminations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 Trois applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.3 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8 Principe du maximum et théorème de Rouché 101 8.1 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8.2 Le théorème de Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.3 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9 La sphère de Riemann 111 9.1 La projection stéréographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 9.2 Singularités à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 9.3 Les transformations de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.4 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10 Connexité simple et théorème de Riemann 123 10.1 Version homotopique du théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . 123 10.2 Le théorème de représentation conforme . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.3 Le théorème de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.4 Le théorème de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 10.5 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 11 Produits infinis et la fonction Gamma 147 11.1 Produits infinis et le théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . 147 11.2 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.3 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12 La fonction zêta et les nombres premiers 167 12.1 La fonction zêta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.2 Le théorème des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12.3 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 TABLE DES MATIÈRES vii 13 Équations de Cauchy-Riemann et applications 191 13.1 Comparaison avec la différentiabilité au sens réel . . . . . . . . . . 191 13.2 Les fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 13.2.1 Le problème de Dirichlet pour le disque unité . . . . . . . . 195 13.2.2 Intégrales de Cauchy et de Poisson, représentations en séries 202 13.3 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 13.4 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 14 Solutions à une sélection d’exercices 209 14.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 14.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 14.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 14.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 14.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 14.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 14.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 14.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 14.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 14.11 Exercices du chapitre 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 14.12 Exercices du chapitre 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 14.13 Exercices du chapitre 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Bibliographie 247 Index 249 |
Disponibilité (1)
| Cote | Support | Localisation | Statut | Emplacement | |
|---|---|---|---|---|---|
| SI8/3190 | Livre | BIB.FAC.ST. | Empruntable | Magazin |
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