| Titre : | Débruitage et simplification d’images |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Année de publication : | 2021 |
| Langues: | Français |
| Mots-clés: | bruit multiplicatif Gamma, ltrage, variation totale, algorithme proximal, mesures de qualité,. . . |
| Résumé : |
L
'axe primordial de notre thèse est le ltrage des images dégradées par un bruit multiplicatif de type Gamma. L'application de l'estimateur du Maximum A Posteriori MAP nous a permis de créer un modèle basé sur un critère énergétique, cette énergie est la somme de deux termes le premier est le terme d'attache aux données lié au bruit et le second est le terme de régularisation qui n'est que la variation totale, le minimiseur de l'énergie correspond à l'image recherchée. La méthode proposée pour résoudre ce problème est liée à l'optimisation convexe fondée sur les algorithmes proximaux, nous avons d'abord recherché et montré l'existence et l'unicité du proximal du terme d'attache aux données, puis nous avons appliqué l'algorithme de Douglas-Rachford pour trouver la solution et garantir sa convergence. An de comparer notre approche, nous avons présenté cinq méthodes récemment introduites qui utilisent les Equations aux Dérivées Partielles EDP et les approches variationnelles. Cette étude comparative nous a conduit à tirer la conclusion que la méthode proposée donne des résultats satisfaisants de ltrage d'images par rapport aux autres méthodes. Des critères quantitatifs ont été utilisés pour mesurer les performances tels que : le rapport signal sur bruit (PSNR), l'indice de similarité structurelle (SSIM) et le rapport visuel signal sur bruit (VSNR) et la qualité visuelle. L'évaluation de l'approche proposée montre qu'elle fournit des résultats meilleurs que ceux obtenus par les autres méthodes testées. La méthode proposée est programmée sous UNLocBoX qui est une boîte à outils d'optimisation convexe MATLAB basée sur les méthodes de fractionnement proximal. |
| Sommaire : |
SOMMAIRE
Page de garde 1 Sommaire I Dédicace V Remerciements VI Résumé VIII Abstract IX Résumé en arabe X Liste des gures XI Liste des tableaux XV Liste des algorithmes XVI Nomenclautre XVII I Introduction 1 I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Dégradation de l'image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.3 Types de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.4 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 I.5 Mesures de qualité utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.5.1 Critère subjectif (aspect visuel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I II Sommaire I.5.2 Critères objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.6 Contribution et organisation de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II Etat de l'art en restauration d'images 14 II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.2 Dénitons utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.2.1 Région homogène-Région hétérogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 II.2.2 Coecient de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.2.3 Equation aux Dérivées Partielles (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.2.4 Variation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.3 Modèle mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 II.4 Filtre moyenneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II.5 Filtre median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 II.6 Filtrage par les méthodes adaptatives : Filtres basés sur la minimisation de l'erreur quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 II.6.1 Filtre de Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 II.6.2 Filtre de Frost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 II.6.3 Filtre de Kuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II.6.4 Filtres de Lee et Frost modiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 II.7 Filtrage par les méthodes de diusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.7.1 Diusion isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II.7.2 Diusion anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 II.7.3 Régularisation du gradient avec une Gaussienne . . . . . . . . . . . 32 II.7.4 Diusion tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.7.5 Filtrage d'image par méthode de Yu et Acton . . . . . . . . . . . . 34 II.8 Filtrage par approche variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.8.1 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.8.2 Le modèle de Tykhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.8.3 Modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF) . . . . . . . . . . . . . . 40 II.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III Méthodes proximales pour la restauration d'images 45 III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 III.2 Rappels de topologie dans R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 III.2.1 Boule, ouvert, fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 III.2.2 Minorant/Majorant, Inmum/Supremum, Minimum/Maximum . . 46 III.3 Quelques rappels d'analyse convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 III.3.1 Domaine, fonction propre, fonction indicatrice, épigraphe, lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 III.3.2 Fonction semi-continue inférieurement, fonction coercive . . . . . . 50 Sommaire III III.3.3 Ensemble convexe, fonction convexe, fonction concave . . . . . . . . 50 III.3.4 Diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III.3.5 Fonction ane, Enveloppe supérieure (fonction Γ ◦ (H)) . . . . . . 55 III.4 Algorithmes d'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 III.4.1 Conditions d'optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 III.4.2 Algorithmes avec calcul de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.4.2.1 Algorithme d'optimisation convexe 'algorithmes à directions de descente' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.4.2.2 Algorithme à descente de gardient . . . . . . . . . . . . . 58 III.4.2.3 Méthode de gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . 61 III.4.3 Algorithmes sans calcul du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III.4.3.1 Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . 63 III.4.3.2 Conditions d'optimalité du premier ordre : conditions de Karush-Kuhn-Tucker KKT . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 III.5 Algorithme proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 III.5.1 Algorithme du point proximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III.5.2 Application du point proximal à l'optimisation convexe . . . . . . . 68 III.6 Application du proximal au débruitage d'images . . . . . . . . . . . . . . 73 III.6.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 III.6.2 Algorithme Forward-Backward (FB) appliqué au débruitage d'images (bruit additif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 III.6.2.1 Algorithme explicite-implicite (FB : Forward-Backward) . 74 III.6.2.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 III.6.3 Algorithme Douglas-Rachford (DR) appliqué au débruitage d'images bruit additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 III.6.3.1 Algorithme de Douglas-Rachford (DR) . . . . . . . . . . . 81 III.6.3.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 III.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IV Méthode proposée et résultats 93 IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 IV.2 Méthodes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 IV.2.1 Filtrage d'image par la méthode de Yu et Acton . . . . . . . . . . . 94 IV.2.2 Filtrage d'image par la méthode de ROF multiplicative . . . . . . . 94 IV.2.3 Diusion non linéaire complexe améliorée : diusion complexe adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 IV.2.4 Modèle variationnel convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 IV.2.5 Modèle variationnel convexe muliplicatif . . . . . . . . . . . . . . . 98 IV.3 Méthode proposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 IV Sommaire IV.3.1 Rappel de la loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 IV.3.2 Bruit multiplicatif de la loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 IV.3.3 Estimateur du Maximum A Posteriori (MAP) . . . . . . . . . . . . 101 IV.3.4 Algorithme proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 IV.3.4.1 Première formulation de débruitage par une regularization variationnelle lorsque le bruit multiplicatif suit la loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 IV.3.4.2 Deuxième formulation de débruitage par une regularization variationnelle lorsque le bruit multiplicatif suit la loi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 IV.3.4.3 L'algorithme de Douglas-Rachford . . . . . . . . . . . . . 105 IV.3.4.4 La fonction Edata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 IV.3.4.5 Existence de ProxEdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 IV.3.4.6 Recherche du ProxEreg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 IV.4 Résultats de simulation et interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 IV.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Conclusion et perspectives 130 A Euler explicite-Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Annexes 133 B Visualisation de l'enveloppe de Moreau Yosida et le proximal de f (x) = |x| pour λ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 C Filtrage d'image par RLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 D Visualisation des Tracés de la fonction y = |x| , sa dérivée et sa tangente . 145 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Couverture avec les trois résumés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 |
| Type de document : | Thése doctorat |
Disponibilité (1)
| Cote | Support | Localisation | Statut | Emplacement | |
|---|---|---|---|---|---|
| Th/1083 | Thèse de doctorat | BIB.FAC.ST. | Empruntable | Salle de mémoires et de théses |
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