| Titre : | L'approche B-spline- Galerkin non - variationnelle dans l'évaluation des états liés d'un systéme quantique |
| Auteurs : | Ouanassa Haif Khaif, Auteur ; Yacine Zerarka, Directeur de thèse ; ياسين زرارقة, Auteur |
| Type de document : | Monographie imprimée |
| Editeur : | Biskra [Algerie] : Université Mohamed Kheider, 2006 |
| Format : | 75 p |
| Accompagnement : | cd |
| Langues: | Français |
| Résumé : |
L’objet de ce travail est l”étude de certains aspects de la méthode B-spline-Galerkin non variationnelle appliquée aux problèmes de la mécanique quantique. La méthode B-spline-Galerkin non variationnelle est une technique d’approximation des solutions des équations aux dérivées partielles. C’est une méthode unifiée faisant intervenir les tech-niques d’approximation de Galerkin non variationnelle combinées avec une base B-spline.
Les solutions construites se présentent comme le développement en série de polynômes,appelés fonctions de base. La précision de cette méthode n’est limitée que par la régula-rité de la fonction à approcher : dans le cas de fonctions infiniment dérivables on parle alors de précision spline. La première partie, préliminaire, de cette thèse est consacrée aux notions fondamen-tales employées dans le cadre de discrétisation spatiale : le zéro des fonctions splines. Nous introduisons les bases polynomiales les plus adaptées ainsi qu’un certain nombre de propriétés de ces polynomes (dérivation, symétries, ...). Nous présentons aussi deux méthodes dont leurs utilisations sont précieuses et utiles : la méthode Galerkin et celle de collocation, dans le cadre de l’équation de Schrödinger 3D, qui sont pratiquement mises en oeuvre conjointement avec la méthode B-splines. Les chapitres suivants décrivent plus directement notre travail. Dans un premier temps, il s’agit de définir les équations régissant la solution et qui satisfont aux conditions de bords ou autrement dit les conditions aux limites. Il n’est pas toujours aisé de trouver les équations qui représentent le plus fidèlement possible les conditions réelles, c’est-à-dire toutes les complexités intervenant dans la forme du potentiel, et les propriétés intrinsèques du système constituant la structure de l’aspect quantique associé. Il faut ensuite passer à la résolution des équations. Lorsque le problème étudié est de nature tridimensionnelle, il s’agit d’équations aux dérivées partielles et il est rare que les solutions exactes soient connues. Heureusement, l’apparition des ordinateurs a multiplié les possibilités de résolution des équations aux dérivées partielles, et les solutions numériques sont aujourd’hui à la portée de la plupart des domaines scientifiques requis. De plus en plus, les programmes de calcul par les B-splines sont à même de résoudre des problèmes de plus en plus variés . Ainsi, les calculs des états de Rydberg en régime permanent (stationnaire), et dans l’extraction des énergies dans le cadre des systèmes quantiques ayant des arguments statistiques, etc.. peuvent être réalisés par la même application où le traitement des B-splines est considéré. Cette méthode présente l’avantage d’être sous-tendue par des démonstrations rigou-reuses de convergence. Elle mène souvent à des équations algébriques de forme relative-ment simple. L’idée de base de la méthode des B-splines est qu’on peut représenter de manière analytique un milieu continu et l’ensemble à analyser en le subdivisant en do-maines et intervalles. Ainsi les fonctions splines régulières possédant chacun ses propres fonctions pour décrire contraintes, états liés, états de diffusion, ou encore les états de capture, d’excitation, de transfert, d’ionisation, ect... On choisit la forme de ces fonctions de manière qu’elles assurent la continuité de la fonction inconnue dans l’ensemble du domaine. Si on peut exprimer le comportement de toute la structure à l’aide d’une équation différentielle unique, la méthode des B-splines ne constitue, avec les représentations en série et les différences finies, qu’un des procédés possibles de résolution approchée de cette équation. Mais si la structure est hétérogène, constituée d’un grand nombre de domaines ré-pondant chacun à une équation différentielle distincte, alors seule cette méthode rested’application directe. La méthode B-splines tout comme les procédés numériques en phy-siques ou en mathématiques appliquées, implique la formation et la résolution de systèmes d’équations algébriques. Mais les avantages qui lui sont propres résident dans l’aisance avec laquelle on peut automatiser la formation de ces équations et dans son aptitude à représenter les structures de plusieurs variantes de potentiels. Dans ce travail on s’intéresse à l’étude d’un certain nombre d’interactions centrales,par l’introduction d’une base de fonctions B-splines conjointement avec la méthode Ga-lerkin dans la quelle on évite la lourdeur d’utiliser l’aspect variationnel du problème L’équation de base à utiliser sera l’équation de Schrödinger stationnaire. La présentation de notre travail comporte cinq chapitres principaux : Nous exposons dans le premier chapitre , l’état de l’art de l’équation de Schrödinger décrivant un état quantique donné et nous mettons en relief les cas de potentiel qui nous préoccupent. Dans le deuxième chapitre, nous abordons les méthodes d’approximations les plus usuelles. La methode B-splines est introduite au chapitre troisième. Notre me-thode B-spline-Galerkin non variationnelle de base ainsi que la méthode de collocation sont décrites dans le chapitre 4 et qui sont utilisées dans une approche globale. Une formulation analytique du système en question est aussi présentée. Dans le cinquième chapitre, nous introduisons une variété de potentiels à envisager dans ce travail pour permettre une complète application de cette méthode unifiée L’équation de base à utiliser sera l’équation de Schrödinger stationnaire. La présentation de notre travail comporte cinq chapitres principaux : Nous exposons dans le premier chapitre , l’état de l’art de l’équation de Schrödinger décrivant un état quantique donné et nous mettons en relief les cas de potentiel qui nous préoccupent. Dans le deuxième chapitre, nous abordons les méthodes d’approximations les plus usuelles. La methode B-splines est introduite au chapitre troisième. Notre me-thode B-spline-Galerkin non variationnelle de base ainsi que la méthode de collocation sont décrites dans le chapitre 4 et qui sont utilisées dans une approche globale. Une formulation analytique du système en question est aussi présentée. Dans le cinquième chapitre, nous introduisons une variété de potentiels à envisager dans ce travail pour permettre une complète application de cette méthode unifiée |
| Sommaire : |
1 Equation de Schrödinger indépendante du temps 6
1.1 Equation de Schrödinger en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Séparation des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Equation de Schrödinger dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Comportement à l’origine des solutions (r −→ 0) . . . . . . . . . 12 1.2.2 Comportement asymptotique (r −→ ∞) . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Bref exposé sur les méthodes d’approximations usuelles 14 2.1 Méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Laméthode des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 1er cas : Aucun état de H0 n’est dégénéré : formalisme de Rayleigh- Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 2`eme cas : Existance de dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Oscillateur anharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Méthode LCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Présentation de la méthode B-splines 23 4 Formulation de la méthode B-spline-Galerkin non-variationnelle 4.1 Laméthode de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 LaméthodeGalerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1 Point de vue classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.2 Point de vue quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5 Description des potentiels et analyses 33 5.1 Etude du potentiel deMorse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.1 Traitement analytique des solutions : Série entière . . . . . . . . . 33 5.1.2 Développements numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.3 Molécule Hcl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Etude du potentiel de Killingbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.2 Les solutions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2.3 Développements numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3 Etude de l’oscillateur harmonique pointu (spiked) : V (r) = r2 + 1 rα . . . 62 5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3.2 Développements numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 |
Disponibilité
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